Варианты равноправны.

Роднит эти прилагательные то, что в греческих словах, к которым они восходят (synthesis 'соединение, составление' и synchronos 'одновременный'), выделяется одна и та же приставка syn 'вместе'.

Возможно: режим "мячик" или режим мячика. В остальных примерах написание без кавычек корректно.

Как можно заметить по представленным примерам, выбор предлога зависит от используемого глагола. Нужно уточнять глагольное управление (т. е. выбор предлога) в словаре, в словарной статье, посвященной соответствующему глаголу.

Имеется в виду режим работы этого пункта или что-то другое?

Значение слова режим 'государственный строй' в «Толковом словаре русского языка» С. И. Ожегова и Н. Ю. Шведовой дано с указанием: «обычно об антинародном, антидемократическом строе». Таким образом, отрицательные коннотации у слова режим есть.

Грамматически корректно: уравнение имеет n+1 решение, n+1 режим.

Оба варианта верны.